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基本用語

絶対値

・原点からの距離を、「絶対値」という。

 

・原点は、0であることが多い。

 

・点-5 であれ、点5であれ、

 原点0からの絶対値は、同じ5である。

 

・絶対値5の表記法は「|5|」である。

 

・絶対値は、ある基準値(原点)に対する過不足を表すのに用いる。

 


不能と不定

5÷0=a    aが0だとしても、

a×0=0 が成り立たない。逆算できない。

 

・解として当てはまる数がないことを、「不能」という。

・計算機で計算すると、エラーになる。

・いわゆる「ゼロ除算」がこれに該当する。


 

 

0÷0=a

a×0=0

 

a=1なら、解は、1×0=0

a=2でも、解は、2×0=0

 

・解が複数あり、定まらないことを「不定」という。

 

 

 


自然数

・正の整数のことを「自然数」という。

 

・自然数同士を加算すると、必ず自然数になる。

 (「自然数は加法について閉じている」という)

 

   3+3=6

 

・しかし、自然数同士で減算すると、負数になる。

 (「自然数は減法について閉じていない」という)

 

   3-4=-1

 


反数

・ある数の正負を逆転させた数を「反数」という。

 

・たとえば、5 の反数は、 -5である。

 

・反数同士を加算すると、必ず0になる。

 

・ある数の減算は、その反数の加算に置き換えることができる。

 

 20 -   5  = 15

   20 + -5 = 15

 

・逆に、負数を含む加算式を、減算式に置き換える場合は、

 加算演算記号を省略する。

 

 

 

 


交換法則

 

・加算式と乗算式では、項の位置を交換しても、解が変わらない。

 

・このことを、「加法の交換法則」、「乗法の交換法則」という。

 

    a+b = b+a

 

    a×b = b×a

 

 

 


分配法則

 

a × (b+c) = (a×b) + (a×c)

 

・bとcに対して、それぞれ個別にaを乗算しても、同じ解が導き出せる。

 

・このように、加法と乗法の間では、交換法則が成り立つ。

 

・ただし、項が行列である場合には、成り立たない。

 

 

 


逆数

・a×b = 1 である場合、

 aとbは、互いにもう一方の数の「逆数」である。

 

 5 × 1/5 = 1

 

 3/4 × 4/3 = 1

 

 

・除算を乗算に置き換える場合は、

 逆数を乗算する。

 

   9 ÷ 3    = 9 × 1/3

 

・これはつまり、分子と分母をひっくり返している。

 

   9 ÷ 3/1 = 9 × 1/3   


約数

 

・ある数aを割り切ることができる数を、aの「約数」という。

 

・たとえば、18の約数は、1、2、3、6、9、18 である。

 

  18 ÷ 18 = 1      ... 18で割り切れる。

  18 ÷  2 =  9      ... 9でも割り切れる。

  18 ÷  3 =  6      ... 6でも割り切れる。

  18 ÷  6 =  3      ... 3でも割り切れる。

  18 ÷  9 =  2      ... 2でも割り切れる。

  18 ÷  1 = 18      ... 1でも割り切れる。


公約数

 

・複数の整数の中で、共通する約数のことを、

  その複数の整数の「公約数」という。

 

・たとえば、2と4と8の公約数は、2。

 

・2と4と8は、いずれも公約数2で割り切れる。


素数

 

・約数が、その数と1しかない数を、「素数」という。

 

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ...

 

 


最大公約数

・ある複数の整数について、共通する約数 (公約数) の中で、

 最大の数を「最大公約数」という。

 

・たとえば、12と18の最大公約数は、

  次のようにして求めることができる。

 

・まず、各数に対して、素数を最小値から順に除算していく。

 

 12÷2=6

 18÷2=9

 

 6÷3=2

 9÷3=3

 

・このように、同じ数で割り切れなくなったら、

 次に、ここまで除算してきた素数を、すべて乗算する。

 

 2×3=6

 

・すると、最大公約数の6が求まる。

 


倍数

 

・ある数aを、整数倍した数のことを、aの「倍数」という。

 

 .... -2a, -1a, 0a, 1a, 2a ....

 

・aが0ではない場合は、aの倍数は、無数に存在する。

 

・b÷aが整数である場合は、bはaの倍数である。

・またこのとき、a,bが整数であるとすると、aはbの約数である。

 


公倍数

 

・整数m,nの共通の倍数を、m,nの「公倍数」という。

 

・mnは、整数m,nの公倍数である。

 

・0の倍数は、0のみである。

 

・0でない数の倍数は無数に存在する。

 


最小公倍数

 

・整数m,nの公倍数のうち、最小の正数のことを「最小公倍数」という。

 


分数

 

・分数の分子は、分割されるものの数。

 (リンゴの分配であれば、リンゴの数。)

 

・分数の分母は、分割する数。

 (リンゴの分配であれば、分配する人数。)

 


 

・b/a=c のとき、b=c×aである。

 

  2/2 = 1 のとき、

    2 = 1*2 である。

 

・これを「分母を払う」という。


 

・分数でない数は、分母が1の分数であるともいえる。

 

  3/1


 

・分数同士の和と差を求める際は、

 最初にまず、分母を通分してそろえておき、

 分子同士を加算または減算する。

 

 


 

・分数の積は、分母同士と分子同士を乗算して求める。

 

   2/2 × 4/4

     = 2×4/2×4

     = 6/6


 

・逆数を乗算すると、1になる。

 

  1/3 × 3/1 = 1


 

 

・分数同士の商は、法数(右項)の逆数の積である。

・要するに、右項の分母と分子を入れ替えた分数を乗算すれば求まる。

 

 2/3÷/5/6 = 2/3×6/5 = 12/15

 


 

・分子が1の分数を、「単位分数」という。

 

・単位分数は、1つのケーキを何等分かに切り分ける際に、

 切り分けられる1部分が、ケーキ全体に占める割合を表すのに用いられる。

 


 

 


約分

 

・ある分数の分子と分母を、その公約数で除算して、

 なるべく小さな数にすることを「約分」という。

 

・たとえば、3/21 と書いてあってもピンとこないが、

  約分して、1/7と書けば、イメージがわく。


通分

 

・分数同士を計算する際に、分母を同じ数にそろえることで、

 計算しやすくすることを「通分」という。

 

・分母をそろえるには、分母の約分をしておくと計算しやすい。

 

・まず、分母同士の最小公倍数を求め、分母とする

 

 ・たとえば、1/3 + 1/6 を求める場合は、6が最小公倍数であるので、

 1/3の分母3に、2を乗算して、分母を6にそろえる。

 

 ・そしてこのとき、1/3の分子1にも、同様に2を乗算する必要がある。

 

 ・こうして通分すると、式は、 2/6 + 1/6 となる。

 

      = 3/6

   =1/2 

 

 ・最小公倍数を求めずとも、両方の分母の積が公倍数であるので、

  この積を分母として用いてもよい。

 

  1/3 + 1/6

     = 1×6/3×6 + 1×3/6×3

     = 6/18 + 3/18

     = 9/18

     = 1/2

 


帯分数と仮分数

・14/3のように、分母の方が大きい分数のことを「仮分数」という。

 

・仮分数は、1よりも大きいため、次のように、

 非分数と分数とに分けて書くことができる。

 

   3

2 ---

   4

 

・これを帯分数といい、上の例は、2/1 + 3/4 を意味する。

 

・すなわちこれは、2個と3/4個である。

 

・仮分数から帯分数を求めるには、

 まず、分子を分母で除算し、その商を非分数とする。

 

・次に、剰余が出た場合は、剰余を分子とし、

 割り切れた場合は、分子を1にする。

 

 

 

 

 


有理数と無理数

 

・分子と分母を整数で表せる数のことを「有理数」という。

 

・有理数は、位取り基数表記法に関係なく、循環小数か、有限小数である。

 

・逆に、円周率のように、無限に続く無限小数のことを「無理数」という。

 


累乗数

 

・2×2×2というように、同じ数の乗算が連続する式は、

 「2の3乗」というように、「累乗数」で表すことができる。

 

・上の例でいうと、乗じられる数2のことを、「底」(基数)という。

・また、乗じる数3のことを、「指数」という。

 

  2^-3 = 1/8

  2^-2 = 1/4

  2^-1 = 1/2

 2^0 = 1

   2^1 = 2

   2^2 = 4

   2^3 = 8

 

・底が0の場合は、計算できないため、1と定義するのが一般的である。

 

・10cmの正方形の面積は、1cm^2 と表記する。

・また、10cmの立方体の容積は、10cm^3と表記する。

 

 

 


指数法則

 

・累乗数同士の積は、指数部を加算することで求まる。

 

 2^3 × 2^2 = 2^5

 

 a^m × a^n = a^(m+n)

 


 

・商を求める場合は、指数部を減算すると求まる。

 

 2^5 ÷ 2^3 = 2^2

 

  a^m ÷ a^n = a^(m-n)

 


 

・累乗の累乗は、指数部を乗算すると求まる。

 

・(2^3)^2 = 2^6

 
  (a^m)^n = a^(m×n)
 

・指数が0の場合は、底に関係なく、便宜上、1であると定義されている。

 ・指数が負数である場合は、逆数となるので、分数で表す。
 
   2^-1 * 2^1 = 2^0 =1
 
 ・2^-1 は、2^1の逆数であるので、1/2 となる。
 
   a^-m = 1/(a^m)
 

 
・指数が分数の場合は、
 
   2^(1/2) = 2
 
 a^(1/m) = m√a       つまり、aのm乗根。
 
・同様に、指数として小数を用いるともできる。
 

単項式

 

・数字と文字からなる数式では、

  乗算記号は、省略して書く。

 

  2 × a → 2a

 

・さらに、数字が1の場合は、1を省略する。

 

   1a → a

 

・数字を左側に書き、続けて右側に文字を書く。

 

・文字の積は、アルファベット順に並べる。

   (※ただし、順番が重要な場合は、その限りではない。)

 

   2ab

 

・同じ文字の積は、累乗で書く。

 

 aa → a^2

 

・除算記号を省略し、代わりに分数で表す。

 

  1/a

 

 

 


割合

 

・100円の8%は、8円。

 

  100 × (8/100) = 8

 

 ・100 × 0.08 の方がわかりやすい。


多項式

 

・「同類項」は、まとめることができる。

 

     2a + 3a + 2c = 5a + 2c


次数

 

・単項式の指数のことを「次数」という。

 

・たとえば、5a^2 の次数は2である。

 

・5a^2 は、 5×a×aであり、文字を2つ含んでいる「2次の項」である。


 

 

・5a^2 + 3b + 1 という多項式では、

 3bが「1次の項」であり、 1が「定数項」である。

 

・この多項式は、「2次の項」が最大次数であるので、「2次式」という。

 


 

 

 

 


係数

 

・文字式の最初の数字を「係数」という。

 

・たとえば、2a の係数は、2である。

 

・-a の係数は、-1 である。

・a/2 の係数は、1/2 である。 ( 1/2 × a )

・2a/4 の係数は、2/4 である。( 2/4 × a )

 

 


素因数分解


 

その数自身または1以外に約数を持たない自然数を「素数」という。

 

・1は素数ではない。

・偶数の素数は2だけである。

 


 

・自然数を構成する数を「因数」という。

 

・たとえば、30という自然数は、言い換えれば 3×10 であり、

 3と10という「因数」で構成されている。

 


 

・因数のうち、素数であるものを「素因数」という。

 

・また、ある数を、その素因数の積で表すことを、「素因数分解」という。

 

・素因数分解は、自然数を、素数で除算して求める。

 

 300/2=150 最初の素数2で除算する。

 150/2=75  次も2で除算できる。

 75/3=25 次はできないので、3で除算する。

 25/3=5     素数5になったので終了。 

 

 300 = 2^2 + 3^1 + 5^2

 


 

 

・素因数分解を応用すると、自然数の約数の総数を求めることができる。

 

・素因数分解の各項の指数に、それぞれ1を加算し、

 それらをすべて合算すると、約数の総数が求まる。

 

・自然数は、素数、合成数(素数の倍数)、1のいずれかである。

 

 

 

 

 

 

 


乗法公式による式の展開

 

(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2        ... 和の平方

(x-a)^2  = x^2 - 2ax + a^2         ... 差の平方

(x+a)(x-a) = x^2 - a^2               ... 和と差の積

 

・乗法公式は、因数分解で使用する。

 

・覚えにくい場合は、次のようにして式を展開することもできる。

 

 a(b+c) = ab + ac

   (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

 

・同類項を整理すれば、同じように展開できる。

 

・乗法公式は、最初の公式だけを覚えておけばいい。

 

 


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