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タイトル:数学エッセイ(素数:6n+1)

著者:茜町春彦

 

前書き

 

対象となる読者について:

大学で数論・情報理論などを履修した人、若しくは素数に興味のある人を想定しています.

 

本稿の目的について:

素数の2と3を除外すると、素数の分布に周期性が現れるようです.

具体的には素数を P=6n+1 の形に表わし、さらに n を負の領域に拡張すると周期性らしきものが現れると云う事です.そして、その周期性を用いて、その P=6n+1 の集合の中から合成数を除外すれば、素数計算関数 π(P) の極限値を正確に求めることが多分できるだろうと思います.そのアイデアの提供が目的です.


P=6n+1型素数の n を整数にする事

全ての素数は P=6n+1 または P=6n+5 の形に表わすことが出来ます.(表1を参照)

ただし、この場合の n はゼロと自然数です.また、素数の2と3は例外として除外します.

 

しかし、式が二つあると扱いずらいので、一つの式ですべての素数を表す方法を考えてみます.

(くどいようですが素数の2と3は例外とします)

 

まず、n を負の領域まで拡張します.つまり n は整数と云う事です.( n= ... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 ... )

 

そして、それを P=6n+1 の方だけに適用します.

(つまり P=6n+5 は不要と云う事です.逆に P=6n+1 を不要として P=6n+5 の方を用いても同じことが出来るのですが、P=6n+1 の方が処理が簡単なので P=6n+1 の方を選びました)

 

すると、n が負の領域では-5とか-11とか-17などとマイナス記号が付いてしまいますが、プラスの意味であると心の中で思い込むと云う事です.

例えば-5はマイナス記号が付いていても5であるとすると云う事です.絶対値を取るとマイナス記号を外すことが出来ますが、絶対値にはしません.

 

この事を図1に図示します.


P=6n+1

これにより、全ての素数を一つの式 P=6n+1 で表わすことが出来るようになりました.

 

また、P=6n+1 どうしの積は、P=6n+1 の形に表すことができます.

(6a+1)x(6b+1)=36ab+6a+6b+1=6(6ab+a+b)+1=6n+1

 

そして、P=6n+1 から合成数を除外して行けば、素数が残ることになります.

例として、合成数の除外方法を図2に示します.



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