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はじめに

 20年間の予備校の数学の指導の中で、次のような言葉を、多く耳にしました。
 「数学の他の分野はできるのに、確率だけは、苦手である。」
 「数学の他の分野は、あまりできないが、確率だけは、得意である。」
 なぜ、このようなことが起こるのでしょうか?

 実は、確率と他の分野の大きな違いは、「考え方の組み立て」が、重要で、いろいろな組み立て方あることです。

 したがって、参考書や、学校の先生によって、組み立て方、すなわち、解法の流れが違ってきます。

 このことが、確率の初心者の人を、混乱させる原因となっています。

 本書では、「3個のさいころ」の問題を通じて、いろいろな考え方の組み立て方を研究すると同時に、複数の解法により、答え合わせを、自分でできるようになってもらいます。

 その中で、自分の考え方の組み立て、解法を確立してもらいます。

 そのことが、センター対策、国公立2次試験対策に、十分なります。

 ぜひ、この本をご活用下さい。

 「3個のさいころ」の後半、「4個のさいころ」は、国公立2次試験対策です。ぜひ、挑戦して下さい。

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第1章 2個のさいころ ~確率では、さいころはすべて区別する~


 まず、次の2問を解いてみましょう。

 

問題1-1 区別のつかない2個のさいころを、投げる時、違う目が出る確率を求めよ。

問題1-2 大小2個さいころを、投げる時、違う目が出る確率を求めよ。

 

 「えーと、問題1-1は、さいころを区別しなくて、問題1-2のさいころは、区別するので、……。」

と、解き出した人は、確率で、かなり苦労しているはずです。

 

 「確率では、すべて区別することが多い。」という原則は、知っていますか?

 そんなこと言われても、「個数の処理では、モノは、区別しない。」と習ったと言いたいですよね。そうなんです。君たちが悪いのではなくて、この「個数の処理」と「確率」の違いを、教科書などでは、強調していないんです。とても、大事なことなので、まとめます。

 

「個数の処理」→モノは、区別しない。人は区別する。

「確率」→すべて区別することが多い(自分で決める)。

 

 「個数の処理」では、モノは、なにも書いていない限り、区別しません。りんご、玉などは、区別しません。本は、「同じ種類の本」と「違う種類の本」がありますね。わかっている出題者は、これを、明記してくれます。

 「個数の処理」では、人は、区別します。「大人3人、子供3人」と書いてあれば、区別します。「その子供は、どこの子供やねん。」という突っ込みは、一切通用しません。「双子、三ツ子」と書いてあっても、人なので、区別します。もちろん、そんな問題は、見たことがありません()

 この影響で、「確率」でも、モノを区別せずに、計算してしまい、間違えることがあります。

「確率は、すべて区別する」と書いている参考書もありますが、区別せずに解ける場合が、あります。このことに関する詳しいことは、国公立向けの内容に、書きましょう。

 とりあえず私立大学、センターレベルの場合は、「確率は、すべて区別する」でいいと思います。

 

 ここまで、書いても、そんなこと言っても、モノは、区別せずに解きたいという人は、次の問題を解いてみましょう。

問題1-3

(1)2個のさいころを、投げる時、違う目が出る場合の数は、何通りあるか?

(2)2個のさいころを、投げる時、違う目が出る確率を求めよ。(問題1-1と同じ)

 

【解答】(1)(個数の処理では、モノは区別しないので)さいころを、区別せずに、考えて、(1、2)

(1、3)(1、4)(1、5)(1、6)(2、3)(2、4)(2、5)(2、6)(3、4)(3、5)

(3、6)(4、5)(4、6)(5、6)の15通り……()

 

≪失敗例≫

(2)同じ目が出るのは、6通りなので、全体の場合の数は、15+6=21なので、求める確率は、

   15/21=5/7……()

 



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第3章 すべて同じ目、2回同じ目、3回とも違う目


問題3-1 3個さいころを、投げる時、次の確率を求めよ。

(1)3個とも、同じ目

(2)2個が同じ目

(3)3個とも、違う目

問題3-2 3回さいころを、投げる時、次の確率を求めよ。

(1)3回とも、同じ目

(2)2回同じ目

(3)3回とも、違う目

 第1項を読んで、「さいころの確率は、すべて区別する」ということが、わかっていれば、問題3-1と問題3-2の答は、同じことになるのは、わかりますよね。

 問題3-2の解説をしましょう。

【解答】(1)  1回 2回 3回

         〇  〇  〇  さいころの目は6種類なので6通り

        6/216=1/36……(答)

(2)の≪考え方≫

      まずは、具体的に考えます。

     1回 2回 3回

      1  1  2

      1  1  3

      1  1  4

      1  1  5

      1  1  6

      2  2  1

      2  2  3

      ・  ・  ・

【解答】(2)1回 2回 3回

       ○  ○  △  6×5×3通り (2回出る目が6通り、1回出る目が5通り)

                        最後の「×3」は並べ替え

       90/216=5/12……(答)

  これを、(解法1)とします。

(3)の≪考え方≫

     これも、具体的に考えます。

     1回  2回  3回

      1   2   3

      1   2   4

      ・   ・   ・

【解答】

() 1回 2回 3回

    〇  △  ×  6×5×4通り (1回目が6通り、2回目が5通り、3回目が4通り)

   120/216=5/9 ……(答)

 この中では、()の出来が、極端に悪いです。逆に言うと、()がすらすらできる人は、この本を読まなくても、いいかもしれませんね()

 冗談はさておき、(2)をとことん解説しましょう。

 (2)の「6×5×3」と(3)の「6×5×4」の6と5は、意味が違うのが、わかりますか?確率では、数字の持つ意味がとても大切です。



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第10章 4個(回)のさいころ

 

 4回()のさいころ問題です。国公立の2次対策です。

 

問題10-1 4回さいころを、投げる時、次の確率を求めよ。

()すべて違う目

() 2回同じ目で、他は違う目

() 目が2種類



(2)は、解法を3つ、(3)は、解法を2つ示します。特に、2種類の問題は、独特の解法があります。マスターしましょう。


「目を選んで、並べる」「回数を選んで、目を並べる」という、解法を研究しましょう。


 



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あとがき

 

 この度は、購入いただき、ありがとうございました。

 

 電子書籍の形式も、とてもいいのですが、紙ベースで、繰り返し読んだ方がいい場合があります。

 

 今回の問題に、+アルファの問題を加えて、千円で、郵送します。

 

 また、その場合は、添削・質問を、受け付けます。

 

 以下のアドレスまで、ご連絡下さい。

 

 iinoken2007@gmail.com

 

 皆様の御健闘をお祈りします。

 

 飯野健二


試し読みはここまでです。続きは購入後にお読みいただけます。

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販売価格1,000円(税込)

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