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幾何エッセイ

『正多角形および星形一筆書と素数判定法(ベータ版)』
著者:茜町春彦

 

 

概要:自然数Nが素数であるか、合成数であるか、を判定する方法を解説します.素数を判定する目的では正多角形である必要はなく、普通の多角形でOKなのですが、作図が簡単なので正多角形を使用しました.(本書のテーマは幾何学ではなく、数論です)


解説のための準備

 

 

《正多角形の各頂点に名前を付けて識別する》
まず、正多角形のどれか1つの頂点を一筆書の始点に選び、A0と呼ぶことにします.
そして、A0から反時計回りに1番目の頂点をA1、2番目の頂点をA2,3番目の頂点をA3、4番目の頂点をA4・・・、i番目の頂点をAi、と呼ぶことにします.(本書では、反時計回りに頂点を巡って行くことにします)
また、各頂点は一巡、二巡、三巡およびそれ以降に於いて、複数の名前を持つことにします.

 

《始点と終点》
一筆書は始点から書き始めて、必ず始点に戻って来ると仮定しています.つまり、始点と終点が一致すると云う事です.(証明は行なっておりません)


《一筆書の方法》
始点から等間隔で頂点を巡って一筆書を行なう事とします.例えば、頂点を2番目づつ巡るなら、A0→A2→A4→A6→A8→A10と巡ります.3番目づつ巡るなら、A0→A3→A6→A9→A12→A15と巡ります.


一筆書の実例

 

 

《実例について》
正5角形と正8角形に関する一筆書の手順を幾つか示します.他の正多角形も同様に考える事とします.

 

《正5角形:2番目づつ》
始点A0から反時計回りに頂点を2番目づつ巡り一筆書を行ないます.
すると、A0→A2→A4→A6→A8→A10の順で星形の一筆書が出来ます.
この時、全ての頂点を経由しています.


一筆書の実例

 

 

《正5角形:3番目づつ》
始点A0から反時計回りに頂点を3番目づつ巡り一筆書を行ないます.
すると、A0→A3→A6→A9→A12→A15の順で星形の一筆書が出来ます.
この時、全ての頂点を経由しています.


一筆書の実例

 

 

《正8角形:2番目づつ》
始点A0から反時計回りに頂点を2番目づつ巡り一筆書を行ないます.
すると、A0→A2→A4→A6→A8の順で正方形の一筆書が出来ます.
この時、経由しない頂点が残ります.

 



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